Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решениймы научились открывать дифференциал, припоминаю пример, который я приводил:

Другими словами, раскрыть дифференциал – это практически то же самое, что отыскать производную.

Пример 1

Отыскать неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но неувязка состоит в том, что у нас под Подведение функции под знак дифференциала синусом не просто буква «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под символ дифференциала:

Раскрывая дифференциал, просто проверить, что:

Практически и – это запись 1-го и такого же.

Но, все же, остался вопрос, как мы пришли к мысли, что на первом шаге необходимо записать наш интеграл конкретно так: ? Почему так, а не Подведение функции под знак дифференциала по другому?

Формула(и все другие табличные формулы) справедливы и применимы Не только лишь для переменной, да и для хоть какого сложного выражения Только бы АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИОДИНАКОВЫМИ.

Потому мысленное рассуждение при решении должно складываться приблизительно так: «Мне нужно решить интеграл Подведение функции под знак дифференциала . Я поглядел в таблицу и отыскал похожую формулу . Но у меня непростой аргумент и формулой я сходу пользоваться не могу. Но если мне получится получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в начальном интеграле множителя-тройки нет, потому, чтоб подынтегральная функция не поменялась Подведение функции под знак дифференциала, мне нужно ее домножить на ». В процессе приблизительно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Сейчас можно воспользоваться табличной формулой :


Готово

Единственное отличие, у нас не буковка «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена начальная подынтегральная функция, означает, интеграл найден верно.

Направьте внимание Подведение функции под знак дифференциала, что в процессе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . На самом деле дела подведение функции под символ дифференциала и – это два взаимно оборотных правила.

Пример 2

Отыскать неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Тут у нас дробь, при этом в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим Подведение функции под знак дифференциала в таблицу интегралов и находим более похожую вещь: .

Подводим функцию под символ дифференциала:

Те, кому тяжело сходу сообразить, на какую дробь необходимо домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, выходит , означает, чтоб ничего не поменялось, мне нужно домножить интеграл на .
Дальше используем табличную формулу :

Проверка:

Получена начальная подынтегральная Подведение функции под знак дифференциала функция, означает, интеграл найден верно.

Пример 3

Отыскать неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 4

Отыскать неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орешки Подведение функции под знак дифференциала:

И т.д..

В конце данного параграфа хотелось бы еще тормознуть на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная заходит с единичным коэффициентом, к примеру:

Строго говоря, решение должно смотреться так:

Видите ли, подведение функции под символ дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Потому на практике таким Подведение функции под знак дифференциала длинноватым решением нередко третируют и сходу записывают, что . Но будьте готовы по мере надобности разъяснить педагогу, как Вы решали! Так как интеграла в таблице вообще-то нет.


podtverzhdajte-svoe-reshenie.html
podtverzhdayushie-issledovaniya.html
podtverzhdenie-nalichiya-finansovih-sredstv.html